File:Minimax Sphere Eversion.webm
Minimax_Sphere_Eversion.webm (file size: 92.21 MB, MIME type: video/webm)
Summary
| Description |
English: This video shows a minimax sphere eversion using the method described in the following articles:
The images in this video were created using the AVN program, described in the following article:
An eversion turns the sphere inside-out in a smooth manner. Creases, pinch points, holes, etc. may not occur during the eversion. However, the sphere may intersect itself during the eversion. In mathematical terms, the eversion is a regular homotopy between the sphere and the sphere point reflected at its center. The sphere is colored in magenta on its outside and orange on its inside. The video has four parts. In the first part, an eversion of the complete sphere is shown. In the beginning, the magenta side is outside. After the eversion has completed, the orange side is outside. The deformed sphere is shown as a triangulated surface. Furthermore, the self-intersection curves that occur during the eversion are shown as gray tubes. Since the eversion process leads to complex deformations of the sphere that partly happen inside the visible part of the surface, the second part of the video shows the reverse eversion (from orange to magenta) with triangles that have gaps. This allows to view the inside of the deformed sphere and to see the deformations that are hidden from view in the first part of the video. In sphere eversions, certain topological events, in which the topology of the self-intersection curves change, must occur. These are called D0, D2, D1, T+, T-, and Q. The videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm, and Sphere eversion topological event Q.webm provide detailed explanations of these topological events. For the minimax sphere eversion, the following topological events occur: D0 D0 (T+ T+) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (T- T-) D2 D2, where the parentheses group topological events that occur simultaneously. The third part of the video shows a forward eversion (magenta to orange) with triangles with gaps. The deformed sphere is dimmed around the times the groups of topological events occur to make the self-intersection curves more pronounced. This provides a clearer view of the topological events. Finally, in the fourth part of the video, a reverse eversion (orange to magenta) is shown with filled triangles. Note that the video can be played in a loop using a suitable video player.Deutsch: Dieses Video zeigt eine Minimax-Umstülpung der Sphäre mit der Methode, die in den folgenden Artikeln beschrieben wird:
Die Bilder in diesem Video wurden mit dem Programm AVN erzeugt, das in folgendem Artikel beschrieben wird:
Die Sphäre wird von innen nach außen umgestülpt, wobei die deformierte Sphäre zu jedem Zeitpunkt mathematisch glatt ist. Falten, Zwickpunkte, Löcher oder ähnliches dürfen bei der Umstülpung nicht auftreten. Die Sphäre darf sich jedoch während der Umstülpung selbst durchdringen. Mathematisch betrachtet ist die Umstülpung eine reguläre Homotopie zwischen der Sphäre und ihrer Punktspiegelung an ihrem Mittelpunkt. Die Sphäre ist außen magenta und innen orange eingefärbt. Das Video hat vier Teile. Im ersten Teil wird eine komplette Umstülpung der Sphäre gezeigt. Am Anfang ist die magentafarbene Seite außen. Nachdem die Umstülpung vollständig erfolgt ist, ist die orangefarbene Seite außen. Die deformierte Sphäre wird als triangulierte Oberfläche dargestellt. Außerdem werden die Selbstdurchdringungskurven, die während der Umstülpung auftreten, als graue Schläuche dargestellt. Da der Prozess der Umstülpung zu komplexen Deformationen führt, die teilweise innerhalb des sichtbaren Teils der Oberfläche geschehen, zeigt der zweite Teil des Videos eine Umstülpung in die Gegenrichtung (orange zu magenta), bei der die Dreiecke Lücken aufweisen. Dies erlaubt es, das Innere der deformierten Sphäre und die Deformationen, die im ersten Teil durch die Oberfläche verdeckt werden, zu sehen. Bei Umstülpungen der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse, in denen sich die Topologie der Selbstdurchdringungskurven ändert, auf. Diese werden als D0, D2, D1, T+, T- und Q bezeichnet. Die Videos Sphere eversion topological events D0 and D2.webm, Sphere eversion topological event D1.webm, Sphere eversion topological events T+ and T-.webm und Sphere eversion topological event Q.webm geben detaillierte Erklärungen dieser topologischen Ereignisse. In der Minimax-Umstülpung der Sphäre treten folgende topologische Ereignisse auf: D0 D0 (T+ T+) (D1 D1 D1 Q D1 D1) (T- T-) D2 D2, wobei die Klammern topologische Ereignisse, die gleichzeitig auftreten, gruppieren. Der dritte Teil des Videos zeigt eine Umstülpung in der Vorwärtsrichtung (magenta zu orange) mit Dreiecken mit Lücken. Die deformierte Sphäre wird um die Zeitpunkte herum, an denen Gruppen von topologischen Ereignissen auftreten, abgedunkelt, so dass die Selbstdurchdringungskurven deutlicher hervortreten. Dies erzeugt eine klarere Sicht auf die topologischen Ereignisse. Schließlich wird im vierten Teil des Videos eine Umstülpung in Gegenrichtung (orange zu magenta) mit ausgefüllten Dreiecken gezeigt. Das Video kann mit einem geeigneten Videoplayer in einer Schleife abgespielt werden. |
| Date | |
| Source | Own work |
| Author | Carsten Steger |
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| current | 14:04, 27 December 2022 | (92.21 MB) | imagescommonswiki>Carsten Steger | Uploaded own work with UploadWizard |
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